Factorial !
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La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplos:
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"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"
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Calculando desde el valor anterior
Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:
| n | n! | ||
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 × 1 | = 2 × 1! | = 2 |
| 3 | 3 × 2 × 1 | = 3 × 2! | = 6 |
| 4 | 4 × 3 × 2 × 1 | = 4 × 3! | = 24 |
| 5 | 5 × 4 × 3 × 2 × 1 | = 5 × 4! | = 120 |
| 6 | etc | etc |
Ejemplo: ¿Cuánto es 10! si ya sabes que 9!=362.880 ?
10! = 10 × 9!
10! = 10 × 362.880 = 3.628.800
Así que la regla es:
n! = n × (n-1)!
lo que significa "el factorial de cualquier número es: el número por el factorial de (1 menos que el número", por tanto 10! = 10 × 9!, o incluso 125! = 125 × 124!
Qué pasa con "0!"
El factorial de cero es interesante... se suele estar de acuerdo en que 0! = 1.
Parece raro que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas cuestiones.
¿Dónde se usa el factorial?
Los factoriales se usan en muchas áreas de las matemáticas, pero sobre todo en combinaciones y permutaciones
Una lista
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5.040 |
| 8 | 40.320 |
| 9 | 362.880 |
| 10 | 3.628.800 |
| 11 | 39.916.800 |
| 12 | 479.001.600 |
| 13 | 6.227.020.800 |
| 14 | 87.178.291.200 |
| 15 | 1.307.674.368.000 |
| 16 | 20.922.789.888.000 |
| 17 | 355.687.428.096.000 |
| 18 | 6.402.373.705.728.000 |
| 19 | 121.645.100.408.832.000 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 |
| 21 | 51.090.942.171.709.400.000 |
| 22 | 1.124.000.727.777.610.000.000 |
| 23 | 25.852.016.738.885.000.000.000 |
| 24 | 620.448.401.733.239.000.000.000 |
| 25 | 15.511.210.043.331.000.000.000.000 |
Algunas valores muy grandes
70! es aproximadamente 1,1978571669969891796072783721 x 10100, que es un poco más grande que un Gúgol (un 1 seguido de 100 ceros).
100! es aproximadamente 9,3326215443944152681699238856 x 10157
200! es aproximadamente 7,8865786736479050355236321393 x 10374
¿Y los decimales?
¿Puedes calcular factoriales de 0,5 o -3,217?
¡Sí que puedes! Pero tienes que usar algo que se llama "función Gamma", y que es mucho más complicado que lo que tratamos aquí.
Factorial de un medio
Lo que sí te puedo decir es que el factorial de un medio (½) es la mitad de la raíz cuadrada de pi = (½)√π, y que los factoriales de algunos "semi enteros" son:
| n | n! |
|---|---|
| (-½)! | √π |
| (½)! | (½)√π |
| (3/2)! | (3/4)√π |
| (5/2)! | (15/8)√π |
Y todavía complen la regla deque "el factorial de un número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)", por ejemplo
(3/2)! = (3/2) × (1/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)!
Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
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Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
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Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
Combinaciones sin repetición
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...
| = 16 × 15 × 14 = 3360 | |
13 × 12 ...
|
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
 |
| donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa) |
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
| 16! | = | 16! | = | 20,922,789,888,000 | = 3360 |
| (16-3)! | 13! | 6,227,020,800 |
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
| 10! | = | 10! | = | 3,628,800 | = 90 |
| (10-2)! | 8! | 40,320 |
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:
Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
- imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
- después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
| El orden importa | El orden no importa |
| 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 | 1 2 3 |
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:
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| donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa) |
Y se la llama "coeficiente binomial".
Notación
Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:
Ejemplo
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
| 16! | = | 16! | = | 20,922,789,888,000 | = 560 |
| 3!(16-3)! | 3!×13! | 6×6,227,020,800 |
O lo puedes hacer así:
| 16×15×14 | = | 3360 | = 560 |
| 3×2×1 | 6 |
Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:
Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
| 16! | = | 16! | = | 16! | = 560 |
| 3!(16-3)! | 13!(16-13)! | 3!×13! |
Triángulo de Pascal
Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:
1 14 91 364 ... 1 15 105 455 1365 ... 1 16 120 560 1820 4368 ...
