La distribución normal

La distribución Normal en Contexto

Se trata, sin duda, del modelo continuo más importante en estadística, tanto por su aplicación directa, veremos que muchas variables de interés general pueden describirse por dicho modelo, como por sus propiedades, que han permitido el desarrollo de numerosas técnicas de inferencia estadística. En realidad, el nombre de Normal proviene del hecho de que durante un tiempo se creyó, por parte de médicos y biólogos, que todas las variables naturales de interés seguían este modelo. Su función de densidad viene dada por la fórmula: que, como vemos, depende de dos parámetros μ (que puede ser cualquier valor real) y σ (que ha de ser positiva). Por esta razón, a partir de ahora indicaremos de forma abreviada que una variable X sigue el modelo Normal así: X ~ N(μ, σ). Por ejemplo, si nos referimos a una distribución Normal con μ = 0 y σ = 1 lo abreviaremos N(0, 1). La función de densidad del modelo Normal tiene forma de campana, la que habitualmente se denomina campana de Gauss. De hecho, a este modelo, también se le conoce con el nombre de distribución gaussiana.

USO DE LAS TABLAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados. Por ejemplo:  Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra. En el deporte un equipo puede ganar o perder. En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.

Propiedades de un experimento de Bernoulli

1 - En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: éxitos o fracasos. 

2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en pruebas anteriores. 

3 - La probabilidad de un suceso es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad del complemento es 1- p y la representamos por q . Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución binomial.

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

Ejemplo

Función de distribución binomial acumulada

Las tablas binomiales a veces se pueden utilizar para calcular las probabilidades en lugar de utilizar la fórmula de distribución binomial. El número de ensayos (n) se da en la primera columna. El número de eventos de éxito (k) se da en la segunda columna. La probabilidad de éxito en cada ensayo individual (p) se da en la primera fila en la parte superior de la tabla.

Los tres supuestos que salen en las distribuciones son que cada prueba tiene la misma probabilidad de ocurrir, sólo puede haber un resultado para cada ensayo y cada ensayo es un evento independiente, mutuo y excluyente.

Una distribución binomial se utiliza en la teoría de la probabilidad y la estadística. Se utilizan para modelar el número de experimentos con éxito en experimentos de éxito/fracaso.

La distribución de probabilidad acumulada se define como:

  B(x;n,p)= ∑ b ( k;n, p) para X=0,1,2,…,n 

Teorema: Identidades binomiales

 (a) b(x;n,p) = b(n-x;,n,1-p)

 (b) B(x;n,p) = 1 - B(n-x-1;n,1-p)

 (c) b(x;n,p) = B(x;n,p) – B(x-1;n,p)

 (d) b(x;n,p) = B(n-x;n,1-p) – B(n-x-1;n,1-p)

Ejemplo de como puedes utilizar las tablas de distribución binomial

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es:

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

El número combinatorio 

Ejemplos

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?

n = 4

p = 0.8

q = 0.2

B(4, 0.8)

2¿Y cómo máximo 2?

A continuación te mostraremos un vídeo para que vayas siguiendo paso a paso cada uno de los ejercicios

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.

2.La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

3.La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q,

q = 1 − p

3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

5.La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.

La distribución bimomial se expresa por B(n, p)

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

Y aquí un ejemplo para entender como resolverlo

VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

VARIABLES ALEATORIAS

Si en un experimento aleatorio a cada suceso aleatorio elemental le asignamos un valor numérico obtenemos una variable aleatoria,que puede ser discreta o continua. Cuando el conjunto numérico es el de los números enteros la variable aleatoria es discreta. Si el conjunto numérico es el de los números reales la variable aleatoria es continua.

VARIABLE DISCRETA

Si x es una variable aleatoria continua, sólo puede tomar ciertos valores en un intervalo.

V. A. Discreta: Función de Probabilidad 

Si x1, x2, x3,..............xn son los valores de x y p1, p2, p3,...........pn las probabilidades de los sucesos correspondientes a los valores de x se llama función de probabilidad o distribución de probabilidades de la variable x al conjunto de los pares (xi, pi)

{(x1, p1), (x2, p2), (x3, p3), .......... (xn, nn)}

formados por los valores de x y sus probabilidades correspondientes.

Si el conjunto de valores de x tiene n elementos: S pi = 1

Y si es infinito numerable:

La función de probabilidad P(x) de la variable aleatoria x es la función que asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente probabilidad pi

VARIABLE CONTINUA

Si la variable aleatoria es continua hay infinitos valores posibles de la variable y entre cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores más. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable, como se puede hacer en el caso de variables aleatorias discretas. Pero sí es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución), y podremos analizar como cambia la probabilidad acumulada en cada punto (estos cambios no son probabilidades sino otro concepto denominado densidad de probabilidad).




Para entender un poco mejor y mas detallado a que nos referimos con el tipo de variable discreta o continua, puedes ver las siguientes imágenes y el vídeo con mas explicación.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función:


F(x) = p(X ≤ x)