PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO (MULTIPLICACIÓN Y ADICIÓN)

En lo que respecta a técnicas de conteo, tenemos dos principios importantes

•  El principio de adición 
•  El principio de multiplicación 

El principio de adición (o) Si un evento o suceso “A” ocurre de n maneras y otro “B” ocurre de m maneras.

 El principio de multiplicación (y) (Conocido también como el principio fundamental del análisis combinatorio). Si un evento A ocurre de n maneras diferentes seguido de otro evento B que ocurre de maneras m maneras distintas, entonces:

 Ejemplos: 

Erika para ir a de su casa a la universidad lo hace tomando un solo microbus. Si por su casa pasan 3 líneas de transporte que la llevan a la universidad, ¿de cuantas maneras diferentes, según el microbus que tome, llegara Erika a la universidad? Se sabe que la línea A tiene 3 microbuses, la línea B tiene 5 microbuses y la línea C tiene 8 microbuses. 

Los sucesos o eventos ocurren uno a continuación de otro, originando un suceso compuesto. Un evento o suceso ocurre de una forma o de otra, más no de ambas formas a la vez (no sucede en simultaneo)

 Nº de maneras en que puede ocurrir el evento A o el evento B es: n  m Nº de maneras en que puede ocurrir A y B es: n m

A continuación se muestra un video para que te sea más sencillo de comprender

CONTEO Y ESPACIO MUESTRAL

Espacio muestral    

                                                                                                                                                Si consideramos un experimento aleatorio arbitrario, cada uno de sus posibles resultados indescomponibles en otros mas simples (de forma que no pueden ocurrir dos simultaneamente, pero sí uno necesariamente) se denomina resultado elemental, suceso elemental o punto muestral.

• El conjunto formado todos los sucesos elementales asociados a un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral y se le designa por Ω. Por ejemplo, en el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, el espacio muestral es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio puede ser de tres tipos, dependiendo de su cardinal:

•  Espacio muestral finito

cuando tiene un número finito de elementos. Por ejemplo, en el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, el espacio muestral es                Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

•  Espacio muestral infinito numerable

 Si tiene un número infinito numerable de elementos; o, dicho de otra forma, si se puede establecer una aplicación biyectiva entre los elementos del espacio muestral y los números naturales. Como ejemplo de un espacio muestral infinito numerable, consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado hasta que aparezca un 1. En este caso el espacio muestral es

 Ω = {1, 21, 31, 41, 51, 61, 221, 231, 241, 251, 261, 321, 331, 341, 351, 361, 421, 431, 441, 451, 461, 521, 531, 541, 551, 561, 621, 631, 641, 651, 661, 2221, 2231, . . .} 

Si consideramos como elementos del espacio muestral el número de lanzamientos necesarios hasta obtener un 1, entonces se tiene

 Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .} 

 Espacio muestral continuo

 Si tiene un número infinito no numerable de elementos. Es decir, si no se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los elementos del espacio muestral y los números naturales. Por ejemplo, si lanzamos un dardo a un diana y estamos interesados en la posición que ocupar´a el dardo que puede ser cualquier punto de la superficie de la diana; en este caso, el espacio muestral es: 

Ω = {todos los puntos de la superficie de la diana}. 

OPERACIÓN FACTORIAL (PERMUTACIÓN U ORDENACIONES SIN REPETICIÓN)

Factorial !

La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1

"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"

Calculando desde el valor anterior

Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:

n	n!
1	1	1	1
2	2 × 1	= 2 × 1!	= 2
3	3 × 2 × 1	= 3 × 2!	= 6
4	4 × 3 × 2 × 1	= 4 × 3!	= 24
5	5 × 4 × 3 × 2 × 1	= 5 × 4!	= 120
6	etc	etc

Ejemplo: ¿Cuánto es 10! si ya sabes que 9!=362.880 ?

10! = 10 × 9!

10! = 10 × 362.880 = 3.628.800

Así que la regla es:

n! = n × (n-1)!

lo que significa "el factorial de cualquier número es: el número por el factorial de (1 menos que el número", por tanto 10! = 10 × 9!, o incluso 125! = 125 × 124!

Qué pasa con "0!"

El factorial de cero es interesante... se suele estar de acuerdo en que 0! = 1.

Parece raro que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas cuestiones.

¿Dónde se usa el factorial?

Los factoriales se usan en muchas áreas de las matemáticas, pero sobre todo en combinaciones y permutaciones

Una lista

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5.040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
11	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87.178.291.200
15	1.307.674.368.000
16	20.922.789.888.000
17	355.687.428.096.000
18	6.402.373.705.728.000
19	121.645.100.408.832.000
20	2.432.902.008.176.640.000
21	51.090.942.171.709.400.000
22	1.124.000.727.777.610.000.000
23	25.852.016.738.885.000.000.000
24	620.448.401.733.239.000.000.000
25	15.511.210.043.331.000.000.000.000

Algunas valores muy grandes

70! es aproximadamente 1,1978571669969891796072783721 x 10¹⁰⁰, que es un poco más grande que un Gúgol (un 1 seguido de 100 ceros).

100! es aproximadamente 9,3326215443944152681699238856 x 10¹⁵⁷

200! es aproximadamente 7,8865786736479050355236321393 x 10³⁷⁴

¿Y los decimales?

¿Puedes calcular factoriales de 0,5 o -3,217?

¡Sí que puedes! Pero tienes que usar algo que se llama "función Gamma", y que es mucho más complicado que lo que tratamos aquí.

Factorial de un medio

Lo que sí te puedo decir es que el factorial de un medio (½) es la mitad de la raíz cuadrada de pi = (½)√π, y que los factoriales de algunos "semi enteros" son:

n	n!
(-½)!	√π
(½)!	(½)√π
(3/2)!	(3/4)√π
(5/2)!	(15/8)√π

Y todavía complen la regla deque "el factorial de un número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)", por ejemplo

(3/2)! = (3/2) × (1/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)!

Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...		= 16 × 15 × 14 = 3360
13 × 12 ...

¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14

La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa)

Ejemplos:

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:

16!	=	16!	=	20,922,789,888,000	= 3360
(16-3)!		13!		6,227,020,800

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

10!	=	10!	=	3,628,800	= 90
(10-2)!		8!		40,320

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

 Combinaciones sin repetición

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!

La manera más fácil de explicarlo es:

• imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
• después lo cambiamos para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.

Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.

Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.

Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importa	El orden no importa
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1	1 2 3

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".

Notación

Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:

Ejemplo

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:

16!	=	16!	=	20,922,789,888,000	= 560
3!(16-3)!		3!×13!		6×6,227,020,800

O lo puedes hacer así:

16×15×14	=	3360	= 560
3×2×1		6

Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.

16!	=	16!	=	16!	= 560
3!(16-3)!		13!(16-13)!		3!×13!

Triángulo de Pascal

Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:

1    14    91    364  ...
1    15    105   455   1365  ...
1    16   120   560   1820  4368  ...

TIPO DE PREGUNTAS (ENCUESTAS)

Este tema nos hace conocimientos de encuestas, una herramienta muy usada en las estadísticas.

LA ENCUESTA:

Como encuestase denomina una técnica de recogida de datos para la investigación social. La palabra proviene del francés enquête, que significa "investigación".
Como tal, una encuesta está constituida por una serie de preguntas que están dirigidas a una porción representativa de una población, y tienecomo finalidad averiguar estados de opinión, actitudes o comportamientos de las personas ante asuntos específicos.
La encuesta, en este sentido, es preparada por un investigador que determina cuáles son los métodos más pertinentes para otorgarle rigurosidad y confiabilidad, de modo que los datos obtenidos sean representativos de la población estudiada. Los resultados, por su parte, se extraen siguiendo procedimientos matemáticos de medición estadística.

Tipos de preguntas:

Preguntas abiertas

Las preguntas abiertas son las más se utilizan en las entrevistas personales, porque suelen ser muy útiles para el entrevistador. Se formula para captar más información acerca del candidato por lo tanto se espera una respuesta amplia.

Algunas preguntas típicas abiertas son por ejemplo ¿qué puede decirme acerca de usted?, ¿por qué está interesado en esta opción? o ¿cuáles son sus habilidades más destacadas?, ¿qué piensa de poner a todos los gerentes de una intranet?, ¿cómo toma una decisión de programación?

Ventajas de utilizar preguntas abiertas:

• Permiten que el entrevistador se sienta a gusto.
• Otorga al entrevistador percibir el vocabulario del entrevistado el cual refleja el tipo de educación, valores, actitudes y creencias.
• Proporciona la percepción de detalles.
• Ofrece una ambiente más espontáneo.

Desventajas: Las preguntas abiertas tienen muchas ventajas, pero también trae consigo muchas desventajas.

• Podrían dar como resultado muchos detalles irrelevantes.
• El entrevistador podría percibir una posible pérdida del control de la entrevista.
• Podría tomar más tiempo del planificado respecto a la cantidad útil de información.

Preguntas dicotómicas

Una encuesta dicotómica tiene solo dos alternativas de respuesta y con frecuencia se complementan con una alternativa neutral. Por ejemplo:

¿Has faltado a la escuela una vez?

a) Si


b) No


c) Solo cuando me enfermo


d) Si, porque no me gusta la escuela

PERMUTACIONES U ORDENACIONES CON REPETICIÓN

Permutaciones

Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...

n = a + b + c + ...

Son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que :

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

EJEMPLOS: Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.                    “9!/3!4!2!= 1260”

COMBINACIONES

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

Si el orden no importa, es una combinación.

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)

Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

Combinaciones con repetición   

Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?

Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son

{c, c, c} (3 de chocolate)

{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla)

{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)

Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!

Combinaciones sin repetición

 Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!

PROBABILIDAD

La Probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. En otras palabras, su noción viene de la necesidad de medir o determinar cuantitativa mente la certeza o duda de que un suceso dado ocurra o no.

Ésta establece una relación entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles. Por ejemplo, lanzar un dado, y que salga el número uno (caso favorable) está en relación a seis casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6); es decir, la probabilidad es 1/6.

La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística, además de otras disciplinas como matemática, física u otra ciencia. En ellas se aplica una teoría de probabilidades, la cual tiene como fin examinar las formas y medios para obtener esas medidas de certeza, así como encontrar los métodos de combinarlos cuando intervienen varios suceso

Cada uno de los resultados obtenidos al realizar un experimento recibe el nombre de suceso elemental.Se llama espacio muestral el conjunto de todos los sucesos elementales obtenidos, de forma que todo subconjunto del espacio muestral es un sucesos en un experimento aleatorio o prueba.

Cuando hablamos de probabilidad tenemos que diferenciar los tipos de sucesos que pueden ocurrir, pueden ser: sucesos naturales, son aquellos cuyo resultado podemos predecir; y sucesos por azar, cuyo resultado no podemos predecir, pero que si se conoce los resultados posibles que se pueden dar.