La distribución normal

La distribución Normal en Contexto

Se trata, sin duda, del modelo continuo más importante en estadística, tanto por su aplicación directa, veremos que muchas variables de interés general pueden describirse por dicho modelo, como por sus propiedades, que han permitido el desarrollo de numerosas técnicas de inferencia estadística. En realidad, el nombre de Normal proviene del hecho de que durante un tiempo se creyó, por parte de médicos y biólogos, que todas las variables naturales de interés seguían este modelo. Su función de densidad viene dada por la fórmula: que, como vemos, depende de dos parámetros μ (que puede ser cualquier valor real) y σ (que ha de ser positiva). Por esta razón, a partir de ahora indicaremos de forma abreviada que una variable X sigue el modelo Normal así: X ~ N(μ, σ). Por ejemplo, si nos referimos a una distribución Normal con μ = 0 y σ = 1 lo abreviaremos N(0, 1). La función de densidad del modelo Normal tiene forma de campana, la que habitualmente se denomina campana de Gauss. De hecho, a este modelo, también se le conoce con el nombre de distribución gaussiana.

USO DE LAS TABLAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados. Por ejemplo:  Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra. En el deporte un equipo puede ganar o perder. En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.

Propiedades de un experimento de Bernoulli

1 - En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: éxitos o fracasos. 

2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en pruebas anteriores. 

3 - La probabilidad de un suceso es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad del complemento es 1- p y la representamos por q . Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución binomial.

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

Ejemplo

Función de distribución binomial acumulada

Las tablas binomiales a veces se pueden utilizar para calcular las probabilidades en lugar de utilizar la fórmula de distribución binomial. El número de ensayos (n) se da en la primera columna. El número de eventos de éxito (k) se da en la segunda columna. La probabilidad de éxito en cada ensayo individual (p) se da en la primera fila en la parte superior de la tabla.

Los tres supuestos que salen en las distribuciones son que cada prueba tiene la misma probabilidad de ocurrir, sólo puede haber un resultado para cada ensayo y cada ensayo es un evento independiente, mutuo y excluyente.

Una distribución binomial se utiliza en la teoría de la probabilidad y la estadística. Se utilizan para modelar el número de experimentos con éxito en experimentos de éxito/fracaso.

La distribución de probabilidad acumulada se define como:

  B(x;n,p)= ∑ b ( k;n, p) para X=0,1,2,…,n 

Teorema: Identidades binomiales

 (a) b(x;n,p) = b(n-x;,n,1-p)

 (b) B(x;n,p) = 1 - B(n-x-1;n,1-p)

 (c) b(x;n,p) = B(x;n,p) – B(x-1;n,p)

 (d) b(x;n,p) = B(n-x;n,1-p) – B(n-x-1;n,1-p)

Ejemplo de como puedes utilizar las tablas de distribución binomial

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es:

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

El número combinatorio 

Ejemplos

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?

n = 4

p = 0.8

q = 0.2

B(4, 0.8)

2¿Y cómo máximo 2?

A continuación te mostraremos un vídeo para que vayas siguiendo paso a paso cada uno de los ejercicios

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.

2.La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

3.La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q,

q = 1 − p

3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

5.La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.

La distribución bimomial se expresa por B(n, p)

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

Y aquí un ejemplo para entender como resolverlo

VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

VARIABLES ALEATORIAS

Si en un experimento aleatorio a cada suceso aleatorio elemental le asignamos un valor numérico obtenemos una variable aleatoria,que puede ser discreta o continua. Cuando el conjunto numérico es el de los números enteros la variable aleatoria es discreta. Si el conjunto numérico es el de los números reales la variable aleatoria es continua.

VARIABLE DISCRETA

Si x es una variable aleatoria continua, sólo puede tomar ciertos valores en un intervalo.

V. A. Discreta: Función de Probabilidad 

Si x1, x2, x3,..............xn son los valores de x y p1, p2, p3,...........pn las probabilidades de los sucesos correspondientes a los valores de x se llama función de probabilidad o distribución de probabilidades de la variable x al conjunto de los pares (xi, pi)

{(x1, p1), (x2, p2), (x3, p3), .......... (xn, nn)}

formados por los valores de x y sus probabilidades correspondientes.

Si el conjunto de valores de x tiene n elementos: S pi = 1

Y si es infinito numerable:

La función de probabilidad P(x) de la variable aleatoria x es la función que asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente probabilidad pi

VARIABLE CONTINUA

Si la variable aleatoria es continua hay infinitos valores posibles de la variable y entre cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores más. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable, como se puede hacer en el caso de variables aleatorias discretas. Pero sí es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución), y podremos analizar como cambia la probabilidad acumulada en cada punto (estos cambios no son probabilidades sino otro concepto denominado densidad de probabilidad).




Para entender un poco mejor y mas detallado a que nos referimos con el tipo de variable discreta o continua, puedes ver las siguientes imágenes y el vídeo con mas explicación.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función:


F(x) = p(X ≤ x)

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO (MULTIPLICACIÓN Y ADICIÓN)

En lo que respecta a técnicas de conteo, tenemos dos principios importantes

•  El principio de adición 
•  El principio de multiplicación 

El principio de adición (o) Si un evento o suceso “A” ocurre de n maneras y otro “B” ocurre de m maneras.

 El principio de multiplicación (y) (Conocido también como el principio fundamental del análisis combinatorio). Si un evento A ocurre de n maneras diferentes seguido de otro evento B que ocurre de maneras m maneras distintas, entonces:

 Ejemplos: 

Erika para ir a de su casa a la universidad lo hace tomando un solo microbus. Si por su casa pasan 3 líneas de transporte que la llevan a la universidad, ¿de cuantas maneras diferentes, según el microbus que tome, llegara Erika a la universidad? Se sabe que la línea A tiene 3 microbuses, la línea B tiene 5 microbuses y la línea C tiene 8 microbuses. 

Los sucesos o eventos ocurren uno a continuación de otro, originando un suceso compuesto. Un evento o suceso ocurre de una forma o de otra, más no de ambas formas a la vez (no sucede en simultaneo)

 Nº de maneras en que puede ocurrir el evento A o el evento B es: n  m Nº de maneras en que puede ocurrir A y B es: n m

A continuación se muestra un video para que te sea más sencillo de comprender

CONTEO Y ESPACIO MUESTRAL

Espacio muestral    

                                                                                                                                                Si consideramos un experimento aleatorio arbitrario, cada uno de sus posibles resultados indescomponibles en otros mas simples (de forma que no pueden ocurrir dos simultaneamente, pero sí uno necesariamente) se denomina resultado elemental, suceso elemental o punto muestral.

• El conjunto formado todos los sucesos elementales asociados a un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral y se le designa por Ω. Por ejemplo, en el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, el espacio muestral es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio puede ser de tres tipos, dependiendo de su cardinal:

•  Espacio muestral finito

cuando tiene un número finito de elementos. Por ejemplo, en el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, el espacio muestral es                Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

•  Espacio muestral infinito numerable

 Si tiene un número infinito numerable de elementos; o, dicho de otra forma, si se puede establecer una aplicación biyectiva entre los elementos del espacio muestral y los números naturales. Como ejemplo de un espacio muestral infinito numerable, consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado hasta que aparezca un 1. En este caso el espacio muestral es

 Ω = {1, 21, 31, 41, 51, 61, 221, 231, 241, 251, 261, 321, 331, 341, 351, 361, 421, 431, 441, 451, 461, 521, 531, 541, 551, 561, 621, 631, 641, 651, 661, 2221, 2231, . . .} 

Si consideramos como elementos del espacio muestral el número de lanzamientos necesarios hasta obtener un 1, entonces se tiene

 Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .} 

 Espacio muestral continuo

 Si tiene un número infinito no numerable de elementos. Es decir, si no se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los elementos del espacio muestral y los números naturales. Por ejemplo, si lanzamos un dardo a un diana y estamos interesados en la posición que ocupar´a el dardo que puede ser cualquier punto de la superficie de la diana; en este caso, el espacio muestral es: 

Ω = {todos los puntos de la superficie de la diana}. 

OPERACIÓN FACTORIAL (PERMUTACIÓN U ORDENACIONES SIN REPETICIÓN)

Factorial !

La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1

"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"

Calculando desde el valor anterior

Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:

n	n!
1	1	1	1
2	2 × 1	= 2 × 1!	= 2
3	3 × 2 × 1	= 3 × 2!	= 6
4	4 × 3 × 2 × 1	= 4 × 3!	= 24
5	5 × 4 × 3 × 2 × 1	= 5 × 4!	= 120
6	etc	etc

Ejemplo: ¿Cuánto es 10! si ya sabes que 9!=362.880 ?

10! = 10 × 9!

10! = 10 × 362.880 = 3.628.800

Así que la regla es:

n! = n × (n-1)!

lo que significa "el factorial de cualquier número es: el número por el factorial de (1 menos que el número", por tanto 10! = 10 × 9!, o incluso 125! = 125 × 124!

Qué pasa con "0!"

El factorial de cero es interesante... se suele estar de acuerdo en que 0! = 1.

Parece raro que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas cuestiones.

¿Dónde se usa el factorial?

Los factoriales se usan en muchas áreas de las matemáticas, pero sobre todo en combinaciones y permutaciones

Una lista

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5.040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
11	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87.178.291.200
15	1.307.674.368.000
16	20.922.789.888.000
17	355.687.428.096.000
18	6.402.373.705.728.000
19	121.645.100.408.832.000
20	2.432.902.008.176.640.000
21	51.090.942.171.709.400.000
22	1.124.000.727.777.610.000.000
23	25.852.016.738.885.000.000.000
24	620.448.401.733.239.000.000.000
25	15.511.210.043.331.000.000.000.000

Algunas valores muy grandes

70! es aproximadamente 1,1978571669969891796072783721 x 10¹⁰⁰, que es un poco más grande que un Gúgol (un 1 seguido de 100 ceros).

100! es aproximadamente 9,3326215443944152681699238856 x 10¹⁵⁷

200! es aproximadamente 7,8865786736479050355236321393 x 10³⁷⁴

¿Y los decimales?

¿Puedes calcular factoriales de 0,5 o -3,217?

¡Sí que puedes! Pero tienes que usar algo que se llama "función Gamma", y que es mucho más complicado que lo que tratamos aquí.

Factorial de un medio

Lo que sí te puedo decir es que el factorial de un medio (½) es la mitad de la raíz cuadrada de pi = (½)√π, y que los factoriales de algunos "semi enteros" son:

n	n!
(-½)!	√π
(½)!	(½)√π
(3/2)!	(3/4)√π
(5/2)!	(15/8)√π

Y todavía complen la regla deque "el factorial de un número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)", por ejemplo

(3/2)! = (3/2) × (1/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)!

Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...		= 16 × 15 × 14 = 3360
13 × 12 ...

¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14

La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa)

Ejemplos:

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:

16!	=	16!	=	20,922,789,888,000	= 3360
(16-3)!		13!		6,227,020,800

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

10!	=	10!	=	3,628,800	= 90
(10-2)!		8!		40,320

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

 Combinaciones sin repetición

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!

La manera más fácil de explicarlo es:

• imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
• después lo cambiamos para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.

Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.

Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.

Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importa	El orden no importa
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1	1 2 3

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".

Notación

Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:

Ejemplo

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:

16!	=	16!	=	20,922,789,888,000	= 560
3!(16-3)!		3!×13!		6×6,227,020,800

O lo puedes hacer así:

16×15×14	=	3360	= 560
3×2×1		6

Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.

16!	=	16!	=	16!	= 560
3!(16-3)!		13!(16-13)!		3!×13!

Triángulo de Pascal

Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:

1    14    91    364  ...
1    15    105   455   1365  ...
1    16   120   560   1820  4368  ...

TIPO DE PREGUNTAS (ENCUESTAS)

Este tema nos hace conocimientos de encuestas, una herramienta muy usada en las estadísticas.

LA ENCUESTA:

Como encuestase denomina una técnica de recogida de datos para la investigación social. La palabra proviene del francés enquête, que significa "investigación".
Como tal, una encuesta está constituida por una serie de preguntas que están dirigidas a una porción representativa de una población, y tienecomo finalidad averiguar estados de opinión, actitudes o comportamientos de las personas ante asuntos específicos.
La encuesta, en este sentido, es preparada por un investigador que determina cuáles son los métodos más pertinentes para otorgarle rigurosidad y confiabilidad, de modo que los datos obtenidos sean representativos de la población estudiada. Los resultados, por su parte, se extraen siguiendo procedimientos matemáticos de medición estadística.

Tipos de preguntas:

Preguntas abiertas

Las preguntas abiertas son las más se utilizan en las entrevistas personales, porque suelen ser muy útiles para el entrevistador. Se formula para captar más información acerca del candidato por lo tanto se espera una respuesta amplia.

Algunas preguntas típicas abiertas son por ejemplo ¿qué puede decirme acerca de usted?, ¿por qué está interesado en esta opción? o ¿cuáles son sus habilidades más destacadas?, ¿qué piensa de poner a todos los gerentes de una intranet?, ¿cómo toma una decisión de programación?

Ventajas de utilizar preguntas abiertas:

• Permiten que el entrevistador se sienta a gusto.
• Otorga al entrevistador percibir el vocabulario del entrevistado el cual refleja el tipo de educación, valores, actitudes y creencias.
• Proporciona la percepción de detalles.
• Ofrece una ambiente más espontáneo.

Desventajas: Las preguntas abiertas tienen muchas ventajas, pero también trae consigo muchas desventajas.

• Podrían dar como resultado muchos detalles irrelevantes.
• El entrevistador podría percibir una posible pérdida del control de la entrevista.
• Podría tomar más tiempo del planificado respecto a la cantidad útil de información.

Preguntas dicotómicas

Una encuesta dicotómica tiene solo dos alternativas de respuesta y con frecuencia se complementan con una alternativa neutral. Por ejemplo:

¿Has faltado a la escuela una vez?

a) Si


b) No


c) Solo cuando me enfermo


d) Si, porque no me gusta la escuela